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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

9. L’intégration complète de l’équation $y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$ équation dans laquelle la lettre $Q$ désigne une fonction quelconque de $x,$ suppose deux choses : d’abord la nouvelle fonction de $x$ dont la différentiation nous ramènera à l’équation proposée, et ensuite la constante, multipliée par une certaine autre fonction de $x.$ Nous avons vu que ce dernier produit restait le même quelle que pût être la fonction $Q\,;$ en conséquence, pour le déterminer, il n’y a qu’à voir ce qu’il deviendra dans la supposition la plus simple qu’on puisse adopter pour $Q,$ qui est celle de $Q=0.$ L’équation sera alors

$y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

puis donc que nous avons suppose

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+Fx^{5}+\ldots ,$

d’où

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Bx+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+5Fx^{4}+\ldots \,;$

Il faudra résoudre l’équation

$0=(A+B)+(B+2C)x+(C+3D)x^{2}+(D+4E)x^{3}+\ldots$

Cela conduira aux équations déjà trouvées (6) avec cette seule différence qu’ici $q,\Delta q,\Delta ^{2}q,\Delta ^{3}q,\ldots$ seront zéro.

Il en faudra seulement rejeter la première équation $N=\Delta ^{12}q,$ qui devenant, dans le cas actuel, $N=0,$ donnerait zéro pour valeur de tous les autres coefficiens, tandis qu’il faut nécessairement laisser du jeu à la constante qu’on se propose d’ajouter. Cette légère attention nous met dans la position d’avoir cette constante, qu’il eût été bien difficile de trouver d’une autre manière quelconque.

11. Avec cette attention, les équations trouvées (6) nous donneront