Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/350

340

INTEGRAT.ⁿ APPROCH.^e DES ÉQUAT.^s DIFFÉRENT.^s

${\begin{array}{rr}{\text{Pour }}x=5,&y=a+4b+17c+\ \ 74d+\ \ 329e,\\6,&a+5b+26c+138d+\ \ 744e,\\7,&a+6b+37c+232d+1473e,\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

résultats qui sont tous compris dans la formule générale

$a+b(x-1)+c(x^{2}-2x+2)+d(x^{3}-3x^{2}+6x-6)$

$+e(x^{4}-4x^{3}+12x^{2}-24x+24)$

de sorte qu’on doit avoir

${\begin{aligned}y=Ae^{-x}&+a\\&+b(x-1)\\&+c(x^{2}-2x+2)\\&+d(x^{3}-3x^{2}+6x-6)\\&+e(x^{4}-4x^{3}+12x^{2}-24x+24).\end{aligned}}$

20. Les résultats obtenus dans ce mémoire ont tous été exacts et rigoureux ; et ils ont dû l’être à raison de ce que les exposans de toutes les puissances dont se composait la quantité $Q$ étaient entiers et positifs. Dans le mémoire qui suivra celui-ci, nous prendrons pour $Q$ des fonctions quelconques de $x\,;$ nous leur appliquerons la même méthode ; nous serons conduits à des résultats absolument neufs, et nous aurons lieu d’être satisfaits de leur exactitude ; conséquence nécessaire de l’approximation que nous avons employée. La seule difficulté qui reste sera la détermination de la constante. Dans le cas que nous venons d’exposer, savoir $y+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$ cette constante était $Ae^{-x}\,;$ encore ne sommes-nous parvenus à ceci que par une induction très permise : mais qui eut été difficile dans d’autres cas quelconques.