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NATURE DES RACINES

que la complication excessive des résultats ôterait toute envie d’en faire l’application.

C’est donc une question non encore résolue, du moins sous le point de vue pratique, que celle de la recherche de la nature et des signes des racines des équations numériques. Sans trop oser l’espérer, nous désirons que les préceptes que nous allons donner sur ce sujet soient jugés de nature à atteindre le but. Ces préceptes auront pour bases les observations suivantes.

I. Une courbe parabolique d’un degré pair, dont l’équation est conséquemment de la forme

$Ax^{2n}+Bx^{2n-1}+\ldots +R=y,$

a toujours deux branches qui s’étendent à l’infini ; l’une dans la région des $x$ et $y$ positives, et l’autre dans la région des $x$ négatives et des $y$ positives. Car, en faisant, dans cette équation,

$x=\pm \infty ,$ on a également $y=+\infty .$

II. Une courbe parabolique d’un degré impair, dont l’équation est conséquemment de la forme

$Ax^{2n+1}+Bx^{2n}+\ldots +R=y,$

a toujours deux branches qui s’étendent à l’infini, l’une dans la région des $x$ et $y$ positives, et l’autre dans la région des $x$ et $y$ négatives. Car, en faisant, dans cette équation,

$x=\pm \infty ,$ on a $y=\pm \infty ,$ respectivement.

III. Une équation numérique en $x$, d’un degré quelconque, étant donnée, et le nombre de ses racines réelles étant supposé connu, on peut toujours obtenir, pour chacune de ces racines, deux limites qui ne comprennent entre elles que cette seule racine, et savoir