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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

on aura les différences consécutives $\Delta q,2\Delta ^{2}q,6\Delta ^{3}q,\ldots$ de la manière qui suit :

${\begin{array}{rl}q=&A+nB,\\\Delta \ q=&B+(1+2n)C+(1+3n)D+(1+4n)E+(1+5n)F+(1+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{2}q=&C+(3+3n)D+(7+12n)E+(15+35n)F+(31+90n)G+\ldots ,\\\Delta ^{3}q=&D+(6+4n)E+(25+30n)F+(90+150n)G+\ldots ,\\\Delta ^{4}q=&E+(10+5n)F+(65+60n)G+\ldots ,\\\Delta ^{5}q=&F+(15+6n)G+\ldots ,\\\Delta ^{6}q=&G+\ldots ,\end{array}}$

. . . . . . . . . .

On regardera les quantités $q,\Delta q,\Delta ^{2}q,\Delta ^{3}q,\ldots$ comme données et les coefficiens $A,B,C,D,\ldots$ comme les inconnues du problème. Il sera donc facile de trouver celles-ci, en commençant par la dernière, pour laquelle j’ai pris le douzième coefficient, désigné par la lettre $N.$ De celle-ci on remontera à $M\,;$ de $M$ on ira jusqu’à $L,$ et ainsi de suite. On aura ainsi les valeurs des douze premiers coefficiens $A,B,C,\ldots N,$ ainsi qu’il suit :

1.^o Coefficient A.

${\begin{aligned}A=q&-n\Delta q+n(1+2n)\Delta ^{2}q-n\left(2+6n+6n^{2}\right)\Delta ^{3}q\\&+n\left(6+22n+36n^{2}+24n^{3}\right)\Delta ^{4}q\\&-n\left(24+100n+210n^{2}+240n^{3}+120n^{4}\right)\Delta ^{5}q\\&+n\left(120+548n+1350n^{2}+2040n^{3}+1800n^{4}+720n^{5}\right)\Delta ^{6}q\end{aligned}}$