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INTÉGRATION APPROCHÉE

et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en $A,B,C,\ldots$ la véritable valeur de l’inconnue $y.$

3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup plus difficile. En posant

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\ldots ,$

on a

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+\ldots ,$

et

$n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=nB+2nCx+3nDx^{2}+4nEx^{3}+\ldots ,$

substituant donc dans l’équation

$y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,$

elle deviendra

$Q=(A+nB)+(B+2nC)x+(C+3nD)x^{2}+(D+4nE)x^{3}+\ldots$

En désignant encore ici par $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ ce que devient $Q,$ lorsqu’on y fait successivement $x=0,1,2,3,\ldots$ et faisant

${\begin{array}{rl}\Delta q=&q_{1}-q_{0},\\2\Delta ^{2}q=&q_{2}-2q_{1}+q_{0},\\6\Delta ^{3}q=&q_{3}-3q_{2}+3q_{1}-q_{0},\\24\Delta ^{4}q=&q_{4}-4q_{3}+6q_{2}-4q_{1}+q_{0},\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .