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INTÉGRATION APPROCHÉE
et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en
la véritable valeur de l’inconnue ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup
plus difficile. En posant
![{\displaystyle y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+Ex^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a4cb47646144bdffe56161b8ddcb17b845c246)
on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=B+2Cx+3Dx^{2}+4Ex^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4977d2c4a26fa512fcd822214881e7da47229610)
et
![{\displaystyle n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=nB+2nCx+3nDx^{2}+4nEx^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82377025a2fdc828ae9154e8e67156cbc3e5c620)
substituant donc dans l’équation
![{\displaystyle y+n{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=Q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27542f092e5716f752aa8790539621a87d439ef6)
elle deviendra
![{\displaystyle Q=(A+nB)+(B+2nC)x+(C+3nD)x^{2}+(D+4nE)x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777eb67d3487e00c0c7e53282139410b6a8b991f)
En désignant encore ici par
ce que devient
lorsqu’on y fait successivement
et faisant
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\Delta q=&q_{1}-q_{0},\\2\Delta ^{2}q=&q_{2}-2q_{1}+q_{0},\\6\Delta ^{3}q=&q_{3}-3q_{2}+3q_{1}-q_{0},\\24\Delta ^{4}q=&q_{4}-4q_{3}+6q_{2}-4q_{1}+q_{0},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a956067afd689318709974b4a896f941454589)
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