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DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Et enfin en mettant pour $\Delta q,\Delta ^{2}q,\Delta ^{3}q,\Delta ^{4}q,\ldots$ leurs valeur en $q,q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ d’après les formules connues, on aura

${\begin{alignedat}{2}{\text{Pour }}x=&3\ldots &3y=&14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}\\{\text{Pour }}x=&4\ldots &6y=&43q-144q_{1}+192q_{2}-112q_{3}+27q_{4}\\{\text{Pour }}x=&5\ldots &120y=&1303q-5680q_{1}+10250q_{2}-9340q_{3}+4375q_{4}\\&&&-788q_{5}\\{\text{Pour }}x=&6\ldots &90y=&1534q-8208q_{1}+18675q_{2}-22880q_{3}+15930q_{4}\\&&&-5904q_{5}+943q_{6}\\\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

8. Exemple. Soit $Q=x^{3},$ l’équation sera

$y+2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=x^{3},$

elle aura pour intégrale complète

$y=Ae^{-{\frac {x}{2}}}+x^{3}-6x^{2}+24x-48.$

La méthode actuelle donne $q_{0}=0,\ q_{1}=1,\ q_{2}=8,\ q_{3}=27,$$q_{4}=64,\ q_{5}=125,\ q_{6}=216,\ldots$

On aura donc, pour $x=3,$

$3y=14q-33q_{1}+30q_{2}-8q_{3}=-33+240-216=-9\,;$

donc $y=-3.$

Pour $x=4,$ on aura

$6y=-144+1536-3024+1728=+96\,;$

donc $y=16.$

Pour $x=5,$ on aura