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DES FONCTIONS POLYNOMES.
![{\displaystyle B=C,\quad {\frac {\operatorname {d} B_{1}}{\operatorname {d} a_{1}}}=C_{1},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}B_{2}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}=C_{2},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{k}B_{k}}{\operatorname {d} a_{1}^{k}}}=C_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d97d766c2153023e0855e2b2beb83fa0b3fb661)
on aura
![{\displaystyle kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{1}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{2}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}.\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ac02ae5944a83bd8b4f394d57414ad3c22b21)
(10)
et
![{\displaystyle kC_{k}=a_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}C_{k-1}}{\operatorname {d} a_{1}^{2}}}+2a_{3}{\frac {\operatorname {d} ^{3}C_{k-2}}{\operatorname {d} a_{1}^{3}}}+3a_{4}{\frac {\operatorname {d} ^{4}C_{k-3}}{\operatorname {d} a_{1}^{4}}}+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3dcbaf317fdc12c04e2a2653d608ea9d306bc5)
(11)
et par conséquent
![{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\left(C{\frac {\operatorname {d} ^{n}A}{\operatorname {d} a^{n}}}+C_{1}{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}A}{\operatorname {d} a^{n-1}}}+C_{2}{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}A}{\operatorname {d} a^{n-2}}}+\ldots +C_{n-1}{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} a}}\right)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd24a52665c727aa0aabcc6aa89dd6846ea6c0)
(12)
La réunion de la formule (12) avec une des formules (10) et (11) remplit l’objet proposé.
Voici enfin une méthode très-simple, pour construire tout d’un
coup l’entier développement de
Soit fait
![{\displaystyle {\frac {1}{1-htx}}=1+htx+h^{2}t^{2}x^{2}+h^{3}t^{3}x^{3}+\ldots =H\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e88792e3299a8a96b0f99ec32b65af6cd4faf03)
on aura alors
(13)
pourvu que, dans le second membre, on fasse
après les differentiations. D’où l’on voit qu’étant donné le développement de
on aura très-facilement celui de
Supposons donc
![{\displaystyle H=1+E_{1}x+E_{2}x^{2}+E_{3}x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58143b31da4baf18c2761d218640ed053a354f1d)
on trouvera facilement l’équation