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DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES

$E_{n}=h\left(a_{1}E_{n-1}+a_{2}E_{n-2}+a_{3}E_{n-3}+\ldots a_{n-1}E_{1}+a_{n}\right),\quad$(14)

pour déterminer chaque terme de $H,$ en fonction de ceux qui le précèdent.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que $u$ n’était fonction que d’une seule quantité $y,$ qui n’était elle-même fonction que de $x$ ; mais à présent supposons

$u=\operatorname {f} (y,y'),$

${\begin{aligned}y=a_{0,0}+a_{1,0}x+a_{2,0}x^{2}+\ldots &\\a_{0,1}z+a_{1,1}xz+\ldots &\\a_{0,2}z^{2}+\ldots &\\y'=b_{0,0}+b_{1,0}x+b_{2,0}x^{2}+\ldots &\\b_{0,1}z+b_{1,1}xz+\ldots &\\b_{0,2}z^{2}+\ldots &\\\end{aligned}}$

$y$ et $y'$ étant la somme de tous les termes de la forme $a_{m,n}x^{m}z^{n},$ $b_{m,n}x^{m}z^{n}$ que l’on peut faire, en prenant pour $m,n$ tous les nombres entiers positifs, zéro compris, pourront se mettre sous cette forme

$y=\Sigma \left(a_{m,n}x^{m}z^{n}\right),\qquad y'=\Sigma \left(b_{m,n}x^{m}z^{n}\right).$

Cela posé, regardant comme entièrement indépendantes les diverses quantités $x,z,a_{m,n},b_{m,n},$ et différentiant dans cette vue, on trouvera facilement