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DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES

{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+{\frac {z}{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma \left\{\alpha {\frac {z^{n}}{x^{n}}}x^{\alpha -1}\left(a_{\alpha -n,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}+b_{\alpha -n,n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}}\right)\right\},

ou encore

{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+{\frac {z}{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} z}}=\Sigma '\left\{\alpha \left(a'_{\alpha }{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{\alpha -1,0}}}+b'_{\alpha }{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{\alpha -1,0}}}\right)\right\}\,;\qquad

(20)

en mettant respectivement

{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} a_{m-1,0}}}\qquad

et

\qquad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} b_{m-1,0}}},

à la place de $x^{m-1}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}$ et $x^{m-1}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y'}},$ ce qui est permis, en vertu des équations (3) et (4) ; et le signe $\Sigma '$ ne se rapportant qu’à $\alpha .$ Enfin, on tirera de l’équation (20) une formule qui ne différera de la formule (17) qu’en ce que $\alpha$ y sera au lieu de $m.$ Cette formule une fois trouvée, on en déduira facilement (18) et (19), au moyen des relations (11) et (12).