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RETOUR

§. II.
Retour des suites.

Dans son Traité de calcul différentiel et intégral, (2.^e édit., tom. I, pag. 298), M. Lacroix observe que, quelque élégant que soit l’emploi du Théorème de Lagrange, dans l’opération du retour des suites, il ne saurait être pourtant regardé comme indiquant la loi des formules auxquelles il conduit.

Frappé de cette remarque, qui nous a paru très-fondée, nous avons cherché une solution du problème qui ne fût pas sujette à cet inconvénient ; et la suivante nous paraît remplir le but. À la vérité, elle sera jugée peut-être moins générale et moins élégante que celle de Lagrange ; mais aussi est-il bien loin de notre pensée de prétendre lutter contre cet illustre géomètre.

Soit l’équation

$a=a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\ldots \qquad$(1)

et proposons-nous d’en tirer la valeur de $z,$ ordonnée suivant les puissances de $a.$ Cette valeur, quelle qu’elle soit, est évidemment une fonction des quantités $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ que nous regarderons comme indépendantes. Ainsi, différentiant successivement l’équation (1), par rapport à chacune de ces quantités, et posant, pour abréger,

$k=a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2}+4a_{4}z^{3}+\ldots$

nous aurons