L’objet que nous nous proposons ici est de parvenir à cette valeur de sans passer par le double intermédiaire de l’intégration de l’équation (1) et de la résolution de son intégrale par rapport à
Observons d’abord, avant d’entrer en matière, que ce que nous dirons ici du cas où c’est que l’on veut obtenir en fonction de doit s’entendre également du cas où ce serait au contraire qu’il s’agirait de déterminer en fonction de attendu que, par des formules connues, on peut, dans l’équation (1), changer l’hypothèse relative à la variable indépendante et traiter ensuite par rapport à dans l’équation résultante, comme nous allons traiter, dans celle-ci, par rapport à
Ces choses ainsi entendues, considérons l’équation (3) ; cette équation exprime une certaine courbe, dont l’ordonnée répondant à l’abscisse donnée est l’inconnue de notre problème. Considérons sur cette courbe un arc très-petit coupé à peu près à son milieu par l’ordonnée Plus cet arc sera petit, et plus il deviendra permis de le considérer comme se confondant sensiblement avec l’arc d’une certaine courbe parabolique ayant une équation de la forme
et même, si la courbe (3) était connue, rien ne serait plus facile que d’assigner les valeurs des coefficiens propres à satisfaire à cette condition ; on voit d’ailleurs que, plus le nombre arbitraire ou le nombre des coefficiens serait considérable, et plus aussi les deux courbes approcheraient de coïncider exactement à une petite distance de part et d’autre de l’ordonnée Alors donc, en faisant dans l’équation (5), la valeur qui en résulterait pour pourrait être sensiblement prise pour l’ordonnée cherchée
Voyons donc si nous ne pourrions pas parvenir à déterminer les coefficiens de l’équation (5). D’abord, ces coefficiens doivent être
