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INTÉGRATION

tels que les conditions relatives à la détermination des constantes se trouvent satisfaites ; ce qui établira déjà entre eux un nombre $n$ de relations. Il ne s’agira donc plus que d’en trouver $m-n+1$ autres.

De l’équation (5) on tire

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=&\ \ B+\ \ 2Cx+\ \ 3Dx^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +mRx^{m-1},\\\\{\frac {\operatorname {d^{2}} y}{\operatorname {d} x^{2}}}=&2C+\ \ 6Dx+12Ex^{2}+\ldots \ldots \ldots +m(m-1)Rx^{m-2},\\\\{\frac {\operatorname {d^{3}} y}{\operatorname {d} x^{3}}}=&6D+24Ex+60Fx^{2}+\ldots +m(m-1)(m-2)Rx^{m-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right\}$(6)

en substituant ces valeurs dans l’équation (1), elle prendra la forme

$\psi (x,A,B,C\ldots R)=0\qquad \qquad$(7)

Or, il est clair, par ce qui précède, que, si les coefficiens inconnus $A,B,C,\ldots R$ avaient été convenablement déterminés, cette dernière équation serait identique, ou du moins à très-peu près, pour toutes les valeurs de $x,$ peu différentes de la valeur $a\,;$ en exprimant donc qu’elle devient telle, en effet, pour de pareilles valeurs, au nombre de $m+n-1,$ on se procurera, entre les coefficiens $A,B,C,\ldots R,$ le nombre d’équations nécessaires pour compléter leur détermination.

Comme le nombre $m$ est arbitraire, et assujetti seulement à n’être pas trop petit ; on pourra toujours le prendre tel que le nombre $m-n+1$ soit un nombre impair $2p+1\,;$ alors, ce qu’il y aura de mieux à faire, sera de mettre successivement pour $x$ dans (7) les nombres $a,a\pm z,a\pm 2z,a\pm 3z,\ldots ,$$a\pm pz\,;$ $z$ étant une fraction arbitraire, mais très-petite ; on conçoit en effet qu’en