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QUESTIONS

a dépassé deux branches ; 2.^o quand elle a dépassé une ordonnée minima ; 3.^o quand elle a dépassé deux racines égales. Le troisième cas peut être évité, puisqu’on sait délivrer une équation de ses racines égales. Dans ce cas, $A$ et $B,$ qui ont un diviseur commun, tendent à s’anéantir ensemble, sans y parvenir. Au-delà de ce point, $A$ conserve son signe et $B$ en change.

Le premier cas se distingue du second en ce que, dans le premier, le terme $A$ peut s’approcher de zéro autant qu’on le veut, ce qui n’a pas lieu dans le second. Au reste, pour éviter tout embarras, on regardera comme non avenue la dernière transformée, qui aura perdu deux variations ; on en formera une nouvelle d’après la méthode générale ; c’est-à-dire, en prenant pour le nombre qui a servi à former la transformée $X_{n-1}=0$ ( $X_{n}=0$ étant celle qu’on abandonné) ; et, en ajoutant à ce nombre la limite inférieure de $X_{n-1}=0.$ Alors, si la nouvelle transformée $X_{n}=0$ perd encore deux variations, on sera assuré que les deux racines douteuses sont imaginaires, et l’on poursuivra l’opération sans s’en inquiéter.

Les bornes de ce mémoire ne me permettent pas de faire le parallèle des diverses méthodes imaginées jusqu’à ce jour ; on verrait que celle tirée de l’équation aux quarrés des différences de l’illustre Lagrange est impraticable dans les degrés un peu élevés, et qu’elle peut exiger des milliers de substitutions dans certains cas. Au surplus, ceux qui désireront de plus amples détails sur ce sujet pourront consulter mon ouvrage intitulé : Méthodes nouvelles pour déterminer les racines des équations^[1].

↑ Nous aurions beaucoup de réflexions à faire sur tout le contenu de l’article qu’on vient de lire ; et nous avions même préparé, dans cette vue, un grand nombre de notes ; mais, l’auteur ne nous ayant autorisé à le rendre public que sous la condition expresse que nous nous abstiendrions de toutes remarques critiques, nous nous trouvons contraints de prier nos lecteurs de vouloir bien ici suppléer à notre silence. Nous croyons toutefois devoir déclarer, pour l’acquit de notre conscience mathématique, que nous sommes loin de regarder comme suffisamment résolue, par ce qui précède, la question qui avait été proposée.
J. D. G.

[1] Nous aurions beaucoup de réflexions à faire sur tout le contenu de l’article qu’on vient de lire ; et nous avions même préparé, dans cette vue, un grand nombre de notes ; mais, l’auteur ne nous ayant autorisé à le rendre public que sous la condition expresse que nous nous abstiendrions de toutes remarques critiques, nous nous trouvons contraints de prier nos lecteurs de vouloir bien ici suppléer à notre silence. Nous croyons toutefois devoir déclarer, pour l’acquit de notre conscience mathématique, que nous sommes loin de regarder comme suffisamment résolue, par ce qui précède, la question qui avait été proposée.
J. D. G.

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