Pour avoir les racines négatives, on change en dans la proposée et on détermine les racines positives de la nouvelle équation, lesquelles, prises avec le signe sont les racines négatives de la proposée.
Ainsi, voilà un procédé régulier uniforme et simple, qui n’exige qu’un nombre de tâtonnemens, au plus, pour déterminer, d’une manière sure, toutes les racines réelles d’une équation quelconque.
Simplification de la méthode. En réfléchissant sur la précédente méthode, on reconnaît bientôt qu’on peut diminuer considérablement le nombre des transformées, en prenant pour un nombre plus grand que celui qui est fourni par la règle imparfaite des limites. On avancera ainsi, à grands pas, le long de l’axe ; et la diminution progressive du terme avertira toujours qu’on est près d’une branche ; que s’il arrive qu’on l’ait dépassée, la racine cherchée se trouvera par-là même renfermée entre deux limites qu’il sera ensuite très-facile de resserrer, en prenant pour la fraction fournie par la dernière transformée. Ceci suppose, au surplus, qu’on n’a dépassé qu’une branche, ce que l’on reconnaîtra par la dernière transformée qui ne doit avoir perdu qu’une variation. S’il arrivait qu’elle en eût perdu plus d’une, on reviendrait sur ses pas, en prenant pour un nombre plus petit.
Ce procédé a quelque ressemblance avec la méthode ordinaire des substitutions, et avec celle de Newton ; mais il n’en a pas les inconvéniens. En effet, on sait que deux substitutions qui donnent pour des résultats de signes contraires peuvent intercepter un nombre impair de racines réelles ou imaginaires ; or, par la méthode vulgaire des substitutions, on ne peut point discerner le nombre des racines interceptées, tandis que, par la nôtre, la diminution de et les variations perdues, font toujours connaître le nombre des branches dépassées par la translation de l’origine des abscisses : c’est un fanal qui est là pour éclairer tous les écueils.
La circonstance de deux variations perdues mérite un examen particulier ; elle a lieu dans trois cas, savoir : 1.o quand l’origine
