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PROBLÈMES DU CONCOURS
Solution. Soient
l’angle donné (fig. 1), et
le point donné,
également distant des côtés
soit
la droite cherchée,
et soit
le côté du quarré auquel la somme des quarrés des segmens
doit être équivalente.
Soient menées
respectivement parallèles à
la
figure
sera un lozange donné, dont nous représenterons le côté
par
Soient, en outre ;
Le triangle
![{\displaystyle \mathrm {OBD} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf423dbef584e7f37758859fcba36061ddf12cf0)
donne
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {OD} }}^{2}=a^{2}+x^{2}-2ax\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38076cc81e49de1f04eaa9b2478bdfeaac8d104)
Le triangle
![{\displaystyle \mathrm {OCE} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5b86eebb79ac24a31b7c656a1ca85277f6f272)
donne
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {OE} }}^{2}=a^{2}+y^{2}-2ay\operatorname {Cos} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb35282b5c23277c0a47e9ef108b3c132fe2abf)
on a donc par la condition du problème
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2a(x+y)\operatorname {Cos} .s\alpha +2a^{2}=b^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1528e15d53bb12f8cbf353b4e77c15179761f6d0)
(1)
Les triangles semblables
donnent d’ailleurs
ou encore
![{\displaystyle xy=a^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e3db51d82c025fe19115dcfcfcdcf7f3fedd8a)
(2)
Voilà donc deux équations pour déterminer
et
et conséquemment le problème pourrait, en toute rigueur, être réputé résolu.
En mettant pour
dans la première équation, sa valeur
donnée par la seconde, elle prend cette nouvelle forme
![{\displaystyle (x+y)^{2}-2a(x+y)\operatorname {Cos} .\alpha -b^{2}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e641287eaf0c5997569730bbde1fc54c779477f)
(3)
d’où on tire
![{\displaystyle x+y=a\operatorname {Cos} .\alpha \pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d592f71e98359dd6510328fc12a4cac202755bb)
On connaît donc présentement la somme et le produit des deux inconnues