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DES COLLÈGES ROYAUX DE PARIS.

les deux droites $\mathrm {O} d,\mathrm {O} d',$ se confondront dans la seule droite $\mathrm {OA} ,$ et le problème n’aura plus que trois solutions. Il n’en aura que deux seulement, lesquelles tomberont toutes deux dans l’angle $\mathrm {BAC,}$ lorsque $a$ sera compris entre ${\frac {1}{2}}(d-c),$ et ${\frac {1}{2}}(d+c).$ Ces deux solutions se réduiront en une seule lorsqu’on aura $a={\frac {1}{2}}(d+c),$ ou

$2a={\sqrt {b^{2}+a^{2}\operatorname {\operatorname {Cos} } .^{2}\alpha }}+a\operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha ,$

ou, en chassant le radical,

$b^{2}=4a^{2}(1-\operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha )=8a^{2}\operatorname {\operatorname {Sin} } .^{2}{\frac {1}{2}}\alpha \,;$

et les deux droites $\mathrm {DE,D'E'}$ se confondront alors dans une seule perpendiculaire menée à $\mathrm {AO}$ par le point $\mathrm {O.}$ Enfin, si l’on a $a>{\frac {1}{2}}(d+c),$ les quatre valeurs de $x,y$ seront imaginaires, et le problème ne pourra plus être résolu.

Dans le cas où l’angle donné $\alpha$ est droit, le lozange $\mathrm {ABOC}$ devient un quarré (fig. 3) ; on a $\operatorname {Cos} .\alpha =0,\ c=0,\ d=b,$ et partant

$x=\pm {\frac {1}{2}}b\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}b^{2}-a^{2}}}\,;$

les quatre racines sont à la fois réelles ou à la fois imaginaires, suivant qu’on a $b>2a$ ou $b<2a\,;$ et, dans le premier cas, deux sont positives et les deux autres négatives. Rien d’ailleurs n’est plus facile alors que de construire le problème.

Si, en effet, du centre $\mathrm {O} ,$ et d’un rayon égal à ${\frac {1}{2}}b$ on décrit un arc, coupant $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {L}$ et $\mathrm {AC}$ en $\mathrm {L',}$ et qu’ensuite des points $\mathrm {L,L'}$ et avec les rayons respectifs $\mathrm {LO,L'O}$ on décrive des demi-cercles terminés, le premier sur $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {D} ',d',$ et le second sur $\mathrm {AC}$ en $\mathrm {E} e'\,;$ en menant par ces points et par le point $\mathrm {O}$ les droites $\mathrm {DE,D'E'} ,de,de'\,;$ ces quatre droites résoudront le problème.

Au lieu d’éliminer $y,$ entre les équations

$xy=a^{2},\qquad x+y=c\pm d,$