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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.
Démonstration. Soient.
(fig. 3) les centres des trois
cercles, dont les rayons soient respectivement
soient
respectivement les centres de similitude externe et interne
des deux cercles dont les centres sont
soient
ceux
des deux cercles dont les centres sont
soit menée par le
point
une parallèle indéfinie a
coupant
en
et
en
Désignons par
l’intersection de
et
en vertu de
la définition des centres de similitude (9) et à cause des parallèles, nous aurons
![{\displaystyle {\rm {CE':C''E'\quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0560ce517cedb4b73863fdfd45bd665ef1ef746a)
ou
![{\displaystyle \quad R:R''::{\rm {CE'':C''M,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1ce3f933942db77bd9cd1fa336504d6bfcdd35)
![{\displaystyle {\rm {C''E:C'E\quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514f90a5605143a17be518fd696fde836fd55b21)
ou
![{\displaystyle \quad R'':R'::{\rm {C''M:C'E''\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec65172ba57de243aeffb75dd1fd4d1b933a158)
d’où nous conclurons, par multiplication et réduction,
![{\displaystyle R:R'::{\rm {CE'':C'E''}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63616e27659443c5df1c18186278ba9825b65a2b)
Le point
intersection de
et
est donc (9) le centre de similitude externe des deux cercles dont les centres sont
les trois centres de similitude externes
sont donc situés sur une même ligne droite ; ce qui démontre la première partie du théorème.
Désignons, en second lieu, par
l’intersection de
et
en vertu de la définition des centres de similitude (9) et à cause des parallèles ; nous aurons
![{\displaystyle {\rm {CI':C''I'\quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27885df97a24279d04c0df7a3a3489e760ef1f7)
ou
![{\displaystyle \quad R:R''::{\rm {CE'':C''N,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efec350c17e935f6574ba637f82873e2c84fd08a)
![{\displaystyle {\rm {C''I:C'I\quad }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986b8bab69dc1a7235f773a9f8ece0a63c33c5c1)
ou
![{\displaystyle \quad R'':R'::{\rm {C''N:C'E''\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160ec3ceabafd64e041cdc7c0778805edec26317)
d’où nous conclurons, par multiplication et réduction,