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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.

Démonstration. Soient. ${\rm {C,C',C''}}$ (fig. 3) les centres des trois cercles, dont les rayons soient respectivement $R,R',R''\,;$ soient ${\rm {E,I}}$ respectivement les centres de similitude externe et interne des deux cercles dont les centres sont ${\rm {C',C''\,;}}$ soient ${\rm {E',I'}}$ ceux des deux cercles dont les centres sont ${\rm {C'',C\,;}}$ soit menée par le point ${\rm {C''}}$ une parallèle indéfinie a ${\rm {CC',}}$ coupant ${\rm {EE'}}$ en ${\rm {M}}$ et ${\rm {II'}}$ en ${\rm {N.}}$

Désignons par ${\rm {E''}}$ l’intersection de ${\rm {EE'}}$ et ${\rm {CC'\,;}}$ en vertu de la définition des centres de similitude (9) et à cause des parallèles, nous aurons

${\rm {CE':C''E'\quad }}$ou$\quad R:R''::{\rm {CE'':C''M,}}$

${\rm {C''E:C'E\quad }}$ou$\quad R'':R'::{\rm {C''M:C'E''\,;}}$

d’où nous conclurons, par multiplication et réduction,

$R:R'::{\rm {CE'':C'E''}}$

Le point ${\rm {E'',}}$ intersection de ${\rm {EE'}}$ et ${\rm {CC',}}$ est donc (9) le centre de similitude externe des deux cercles dont les centres sont ${\rm {C,C'\,;}}$ les trois centres de similitude externes ${\rm {E,E',E''}}$ sont donc situés sur une même ligne droite ; ce qui démontre la première partie du théorème.

Désignons, en second lieu, par ${\rm {E''}}$ l’intersection de ${\rm {II'}}$ et ${\rm {CC'\,;}}$ en vertu de la définition des centres de similitude (9) et à cause des parallèles ; nous aurons

${\rm {CI':C''I'\quad }}$ou$\quad R:R''::{\rm {CE'':C''N,}}$

${\rm {C''I:C'I\quad }}$ou$\quad R'':R'::{\rm {C''N:C'E''\,;}}$

d’où nous conclurons, par multiplication et réduction,