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RÉSOLUES.

où $m$ est indéterminé. En la combinant avec celle de la courbe, pour éliminer $y,$ on trouvera que les abscisses des deux extrémités de la corde interceptée sont données par l’équation

$\left(a-m^{2}\right)x^{2}+2bx+c=0.$

Mais l’abscisse du milieu d’une droite est la demi-somme des abscisses de ses extrémités ; et il est connu d’ailleurs que, dans une équation du second degré, dont le premier terme est dégagé de son coefficient, le coefficient du second terme, pris avec un signe contraire, est la somme des racines de l’équation ; d’où il suit que l’abscisse du milieu de la corde sera donnée par l’équation

$x=-{\frac {b}{a-m^{2}}}\quad$ou$\quad \left(a-m^{2}\right)x+b=0\,;$

mettant donc pour l’arbitraire $m,$ dans cette dernière, la valeur ${\frac {y}{x}}$ tirée de l’équation de la corde, on obtiendra, toutes réductions faites, pour l’équation de la courbe cherchée

$y^{2}=ax^{2}+bx,$

ce qui démontre la proposition annoncée.

On peut facilement démontrer d’une manière analogue cet autre théorème :

THÉORÈME. Le lieu des milieux des cordes menées à une surface quelconque du second ordre, par un quelconque des points de l’espace, est une autre surface du second ordre, semblable à la première