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DE PARIS.

Pour cela, par l’un quelconque ${\rm {M}}$ de ses points ; concevons une section ${\rm {A'MB'N.}}$ parallèle à la base du cône, dont les intersections respectives avec le plan de l’angle ${\rm {A'SB'}}$ et le plan ${\rm {AMBN}}$ soient ${\rm {A'B'}}$ et ${\rm {MN,}}$ se coupant en ${\rm {P}}$ sur ${\rm {AB\,;}}$ cette section sera circulaire et perpendiculaire, comme ${\rm {AMBN}}$ au plan ${\rm {A'SB'\,;}}$ d’où il résulte que ${\rm {MN}}$ sera perpendiculaire à ce plan, et conséquemment à ${\rm {AB}}$ et ${\rm {A'B'.}}$ De plus, les angles ${\rm {PBA'}}$ et ${\rm {PA'B}}$ seront respectivement égaux aux angles ${\rm {PB'A}}$ et ${\rm {PAB'\,;}}$ les triangles ${\rm {A'PB}}$ et ${\rm {APB'}}$ seront donc semblables et donneront, par conséquent,

${\rm {PA:PB'::PA':PB,}}$

d’où

${\rm {PA'.PB'=PA.PB\,;}}$

mais, par la propriété du cercle,

${\rm {{\overline {PM}}^{2}=PA'.PB',}}$

donc aussi

${\rm {{\overline {PM}}^{2}=PA.PB\,;}}$

donc enfin la section ${\rm {AMBN}}$ est un cercle, dont ${\rm {AB}}$ est un diamètre^[1].

1. Cette propriété du cône oblique, à base circulaire, peut encore être démontrée comme il suit. Concevons toujours, par la droite qui joint le sommet au centre de la base, un plan perpendiculaire au plan de cette base, lequel déterminera deux droites sur la surface du cône. Concevons que, par la droite qui divise l’angle de ces deux-là en deux parties égales, on conduise un second plan, perpendiculaire à celui de cet angle ; ce dernier plan, comme le premier, divisera la surface conique, considérée comme indéfinie, en deux parties exactement symétriques et même superposables ; d’où il suit que si, par une droite menée, dans ce second plan, perpendiculairement au premier, on fait