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GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

face du cône, il faudra que ces valeurs de $x$ et $y$ satisfassent à l’équation de sa base ; c’est-à-dire, qu’on devra avoir

$k^{2}\left(M^{2}+N^{2}\right)=r^{2}.$

Telle est donc la relation qui doit exister entre $M$ et $N,$ pour que la droite dont les équations sont

$x=M(z-k),\qquad y=N(z-k),$

soit sur le cône. Eliminant donc $M,N$ entre ces trois dernières équations, l’équation résultante

$k^{2}(x^{2}+y^{2})=r^{2}(z-k)^{2}$

sera celle de la surface convexe de ce cône.

Supposons présentement que le plan des $yz,$ qui est seulement assujetti à passer par l’axe du cône, ait été choisi parallèle à celui des sections verticales dont il est question dans l’énoncé du problème ; alors, pour avoir les courbes déterminées par ces sections, il ne s’agira que de considérer $x$ dans l’équation du cône comme une constante arbitraire, exprimant la distance variable du plan coupant à l’axe du cône. Si, en outre, on transporte l’origine au sommet, ce qui se réduit à changer $z-k$ en $z$, l’équation pourra être mise sous cette forme

$x^{2}.z^{2}-\left({\frac {kx}{r}}\right)^{2}y^{2}=x^{2}\left({\frac {kx}{r}}\right)^{2}\,;$

équation que l’on reconnaît pour être celle d’une hyperbole dont le demi-axe transverse est ${\frac {kx}{r}}$ et dont le demi-second axe est $x.$