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ANALITIQUE.

plan (2) en un point dont on aura les coordonnées en combinant entre elles les équations (2, 3). On trouvera ainsi pour ces coordonnées

$x=M{\frac {k-r}{1-pM-qN}},\qquad y=N{\frac {k-r}{1-pM-qN}},$

$z={\frac {k-(pM+qN)r}{1-pM-qN}}.$

Si donc on veut que la droite (3) soit sur le cône, il faudra que ce point soit sur la sphère, c’est-à-dire, qu’on devra avoir

$\left\{M.{\frac {k-r}{1-pM-qN}}\right\}^{2}+\left\{N.{\frac {k-r}{1-pM-qN}}\right\}^{2}+\left\{{\frac {k-(pM+qN)r}{1-pM-qN}}\right\}^{2}=r^{2},$

ou bien, en réduisant,

$(k-r)\left(M^{2}+N^{2}\right)-2r(pM+qN)+(k+r)=0.\qquad$(4)

Telle est donc la relation qui doit exister entre $M$ et $N$ pour que la droite (3) soit sur la sphère. Eliminant donc ces deux indéterminées de cette équation (4), au moyen des équations (3) l’équation résultante

$(k-r)\left(x^{2}+y^{2}\right)-2r(px+qy)(z-r)+(k+r)(z-r)^{2}=0,\qquad$(5)

sera celle du cône, considéré comme surface indéfinie.

Si donc on veut savoir suivant quelle courbe ce cône est coupé par le plan des $xy,$ il suffira de supposer $z=0$ dans l’équation précédente qui deviendra ainsi