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ANALITIQUE.

$R^{2}+R'^{2}-D^{2}=2r^{2}.{\frac {(1+pp'+qq')r^{2}-kk'}{(k-r)(k'-r)}},$

$\operatorname {Cos} .\delta -\operatorname {Cos} .\rho \operatorname {Cos} .\rho '={\frac {(1+pp'+qq')r^{2}-k^{2}}{r^{2}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left(1+p'^{2}+q'^{2}\right)}}}},$

$2RR'={\frac {2r^{2}{\sqrt {\left\{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)r^{2}-k^{2}\right\}\left\{\left(1+p'^{2}+q'^{2}\right)r^{2}-k'^{2}\right\}}}}{(k-r)(k'-r)}},$

$\operatorname {Sin} .\rho \operatorname {Sin} .\rho '={\frac {\sqrt {\left\{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)r^{2}-k^{2}\right\}\left\{\left(1+p'^{2}+q'^{2}\right)r^{2}-k'^{2}\right\}}}{r^{2}{\sqrt {\left(1+p^{2}+q^{2}\right)\left(1+p'^{2}+q'^{2}\right)}}}}\,;$

donc enfin

${\frac {R^{2}+R'^{2}-D^{2}}{2RR'}}={\frac {\operatorname {Cos} .\delta -\operatorname {Cos} .\rho \operatorname {Cos} .\rho '}{\operatorname {Sin} .\rho \operatorname {Sin} .\rho '}}$

$={\frac {(1+pp'+qq')r^{2}-kk'}{\sqrt {\left\{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)r^{2}-k^{2}\right\}\left\{\left(1+p'^{2}+q'^{2}\right)r^{2}-k'^{2}\right\}}}}\,;$

or, la première de ces deux expressions est celle du cosinus de l’angle sous lequel se coupent les perspectives des deux cercles de la sphère, et la seconde est celle du cosinus de l’angle sous lequel ces deux cercles se coupent eux-mêmes ; donc, dans la projection de Ptolémée, les perspectives de deux cercles quelconques de la sphère sont deux cercles qui se coupent eux-mêmes sous le même angle que ces deux-là. Cette intéressante remarque, qui ajoute un si grand prix au système de projection de Ptolémée, est due, je crois, à M. Puissant.

Si donc les deux cercles de la sphère sont tangens l’un à l’autre, leurs perspectives le seront également ; ce qui est d’ailleurs évident.