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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.

$\mathrm {{\overline {OC}}^{2}-{\overline {OC'}}^{2}={\overline {CT}}^{2}-{\overline {C'T'}}^{2}} \,;$

le point ${\rm {O}}$ sera donc (16) le centre radical ; et par conséquent (18) le point ${\rm {P}}$ sera un des points de l’axe radical.

21. THÉORÈME, Les axes radicaux de trois cercles tracés sur un même plan, et considères successivement deux à deux, se coupent tous trois au même point.

Démonstration. Soient ${\rm {C,C',C''}}$ les troîs cercles, ${\rm {X,X',X'',}}$ respectivement, les axes radicaux de ${\rm {C',C'',}}$ de ${\rm {C'',C,}}$ de ${\rm {CC',}}$ et soi, ${\rm {O}}$ le point de concours des deux premiers. La tangente menée de ce point à ${\rm {C}}$ sera (20) égale aux tangentes menées du même point aux cercles ${\rm {C',C''\,;}}$ ces deux derniers seront donc égales entre elles ; leur point de concours ${\rm {O}}$ sera donc (20) un point de ${\rm {X\,;}}$ d’où il suit que ${\rm {X,X',X''}}$ passent par ce point ${\rm {O}}$^[1].

22. Nous appellerons, à l’avenir, centre radical de trois cercles, le point de concours des axes radicaux de ces trois cercles, pris deux à deux.

23. Notre théorème (21) fournit un moyen fort simple de déterminer l’axe radical de deux cercles, dans les cas que nous avons exceptés (19). Il consiste à décrire arbitrairement un troisième cercle qui coupe à la fois les deux premiers ; ses cordes communes avec eux seront deux des axes radicaux des trois cercles (19) ; leur point de concours sera donc leur centre radical, et par conséquent l’un des points de l’axe radical des deux cercles dont il s’agit ; menant donc, par ce point, une perpendiculaire à la droite qui joint leurs centres ; cette perpendiculaire sera l’axe radical cherché.

1. La démonstration de Monge n’est applicable qu’au seul cas où, non seulement les trois cercles se coupent deux à deux, mais encore où ils se coupent de telle sorte qu’une portion de leur plan leur est commune à tous trois.