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THÉORIE DES CONTACTS

gente ou leur corde commune. Nous verrons bientôt comment on peut facilement déterminer cette droite dans les autres cas.

20. THÉORÈME. Les tangentes menées à deux cercles de tous les points et des seuls points de leur axe radical, terminées à leurs points de contact, sont égales entre elles.

Démonstration. Soit ${\rm {P}}$ (fig. 4, 5) un point duquel soient menées à deux cercles, dont les centres sont ${\rm {C,C'}}$ des tangentes dont les points de contact respectifs soient ${\rm {T,T'\,;}}$ du même point ${\rm {P}}$ sait, abaissée sur ${\rm {CC'}}$ une perpendiculaire dont le pied soit ${\rm {O.}}$ Soient menés les rayons ${\rm {CT,C'T',}}$ ainsi que les droites ${\rm {PC,PC'.}}$ On aura

${\overline {\mathrm {CP} }}^{2}\quad$ou$\qquad \mathrm {{\overline {PO}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {PT}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}} ,$

${\overline {\mathrm {C'P} }}^{2}\quad$ou$\qquad \mathrm {{\overline {PO}}^{2}+{\overline {OC'}}^{2}={\overline {PT'}}^{2}+{\overline {C'T'}}^{2}} ,$

d’où, en retranchant et déduisant

$\mathrm {{\overline {OC}}^{2}-{\overline {OC'}}^{2}=\left({\overline {PT}}^{2}-{\overline {PT'}}^{2}\right)+\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {C'T'}}^{2}\right)} .$

Or, 1.^o si $\mathrm {P}$ est un point de l’axe radical, $\mathrm {O}$ sera le centre radical, et on aura (16)

$\mathrm {{\overline {OC}}^{2}-{\overline {OC'}}^{2}={\overline {CT}}^{2}-{\overline {C'T'}}^{2}} \,;$

notre équation deviendra donc, en réduisant, transposant et extrayant la racine quarrée,

${\rm {PT=PT'\,;}}$

c’est-à-dire que les tangentes partant du point ${\rm {P}}$ seront égales.

2.^o Réciproquement, si les tangentes ${\rm {PT,PT'}}$ sont égales, notre équation deviendra simplement