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THÉORIE DES CONTACTS
gente ou leur corde commune. Nous verrons bientôt comment on
peut facilement déterminer cette droite dans les autres cas.
20. THÉORÈME. Les tangentes menées à deux cercles de tous les points et des seuls points de leur axe radical, terminées à leurs points de contact, sont égales entre elles.
Démonstration. Soit
(fig. 4, 5) un point duquel soient menées à deux cercles, dont les centres sont
des tangentes
dont les points de contact respectifs soient
du même
point
sait, abaissée sur
une perpendiculaire dont le pied soit
Soient menés les rayons
ainsi que les droites
On aura
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {CP} }}^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07853fe7044ac3f9c6994e31317c872c9ee1c868)
ou
![{\displaystyle \qquad \mathrm {{\overline {PO}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {PT}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d056ac288da4c82b0aafdfaf8ed705b40864cd7)
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {C'P} }}^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc609c1340f5837d19f3f3ead04beec701c63668)
ou
![{\displaystyle \qquad \mathrm {{\overline {PO}}^{2}+{\overline {OC'}}^{2}={\overline {PT'}}^{2}+{\overline {C'T'}}^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62520a347a56f877588d524e4cd27df4f5471d6a)
d’où, en retranchant et déduisant
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {OC}}^{2}-{\overline {OC'}}^{2}=\left({\overline {PT}}^{2}-{\overline {PT'}}^{2}\right)+\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {C'T'}}^{2}\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cba4b5246126e7abfd32eb0373d9e803d1a204)
Or, 1.o si
est un point de l’axe radical,
sera le centre radical, et on aura (16)
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {OC}}^{2}-{\overline {OC'}}^{2}={\overline {CT}}^{2}-{\overline {C'T'}}^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e519189ae2506030fc2b1f751ed6970b0675ddb6)
notre équation deviendra donc, en réduisant, transposant et extrayant la racine quarrée,
![{\displaystyle {\rm {PT=PT'\,;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37960fe1fea6c2139effbdb504962b5793b60ea)
c’est-à-dire que les tangentes partant du point
seront égales.
2.o Réciproquement, si les tangentes
sont égales, notre équation deviendra simplement