Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/176

166

PROBLÈMES.

Si d’abord on ne veut faire qu’une part unique, on sera contraint de la composer des $m$ choses, ce qui ne se pourra que d’une manière ; de sorte que le nombre des manières de faire une part sera donc simplement $1.$

S’agit-il de faire deux parts ? on pourra prendre successivement, pour la première $1,2,3,\ldots m-1,$ choses, et tout le reste pour la seconde ; mats en général, on pourra composer la part de $k$ choses d’un nombre de manières exprimé par

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}},\ldots {\frac {m-k+1}{k}},$

et puisqu’alors la seconde part se trouve tout-à-fait déterminée, il s’ensuit que, suivant qu’on voudra faire la première part de $1,2,3,\ldots m-2,m-1$ choses, le nombre des systèmes de répartition possibles sera

${\begin{array}{rr}{\text{Pour }}1&{\text{chose}}\ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}},\\\\2&\ldots \ldots \ldots \ {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}},\\\\3&\ldots \ \ {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\m-2&\ldots \ldots \ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}},\\\\m-1&\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ \ {\frac {m}{1}}.\end{array}}$

Le nombre total des modes de répartition en deux parts sera donc la somme des ces termes, que l’on reconnaît de suite être