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DE COMBINAISON.

${\frac {\left({\begin{aligned}&n^{m}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{m}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{m}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{m}+\ldots \\&\qquad \qquad \pm {\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}2^{m}\pm n\end{aligned}}\right)}{1.2.3\ldots \ldots n}}$

ainsi, ce sera dans le cas de une part $\ldots {\tfrac {1}{1}},$

${\begin{array}{rr}{\text{de}}\;2&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {2^{m}-2}{1.2}},\\\\{\text{de}}\;3&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {3^{m}-3.2^{m}+3}{1.2.3}},\\\\{\text{de}}\;4&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\frac {4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4}{1.2.3.4}},\\\\{\text{de}}\;5&\ldots \ldots \ldots {\frac {5^{m}-5.4^{m}+10.3^{m}-10.2^{m}+5}{1.2.3.4.5}},\\\\{\text{de}}\;6&\ldots {\frac {6^{m}-6.5^{m}+15.4^{m}-20.3^{m}+15.2^{m}-6}{1.2.3.4.5.6}}\,;\end{array}}$

et ainsi des autres ; d’où l’on voit que ces sortes de fonctions n’ont que l’apparence fractionnaire.

Si l’on demande, par exemple, de combien de manières dix fruits, tous d’espèces différentes, peuvent être répartis entre quatre personnes, on trouvera, pour le nombre cherché,

$4^{10}-4.3^{10}+6.2^{10}-4=818520\,;$

mais, si l’on demandait simplement de combien de manières on peut faire quatre parts avec ces dix fruits, sans aucun égard aux personnes à qui ces parts devraient être destinées, la réponse serait

${\frac {818520}{1.2.3.4}}=34105.$