PROBLÈME II. De combien de manières peut-on faire parts, avec choses toutes différentes les unes des autres, lorsqu’on a la faculté de faire tant de parts nulles qu’on peut, sous la condition cependant d’employer toutes les choses dans chaque mode de répartition ?
Solution. La solution de ce problème est très-facile à déduire de celle du problème qui vient d’être résolu, ainsi qu’on va le voir ; mais il s’en faut que les résultats qu’on en obtient soient aussi simples que ceux que nous avons obtenus du premier.
D’abord, si l’on ne veut faire qu’une seule part, on ne pourra faire de parts nulles ; tout se passera donc comme dans le premier problème, et l’on aura, pour le nombre des modes de répartition
Si l’on veut faire deux parts, on ne pourra faire qu’une seule part nulle, et d’une seule manière seulement, et conséquemment le nombre des systèmes qu’avait donné le précédent problème pour ce cas devra simplement être augmenté d’une unité ; il sera donc, dans le cas actuel,
Si l’on veut faire trois parts, on pourra faire ufte ou deux parts nulles. On pourra faire une part nulle d’autant de manières qu’il y en a de faire, avec choses, deux parts dont aucune ne soit nulle ; et, quant à deux parts nulles, on ne pourra les faire que d’une manière unique, puisqu’on sera contraint de tout mettre dans la troisième. Le nombre total des systèmes de répartition en trois parts sera donc
ou bien ; par ce qui précède,
