Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/195

185

DE COMBINAISON.

c’est-à-dire, en deux progressions par différences dont la raison commune est $6,$ et dont le nombre des termes est ${\frac {m-2}{6}},$ pour l’un et l’autre. Réunissant donc les sommes de ces deux séries, nous aurons

${\frac {1}{2}}.{\frac {m-2}{6}}\left\{{\frac {m+4}{2}}+{\frac {m}{2}}\right\}={\frac {(m-2)(m+2)}{12}}={\frac {m^{2}-4}{12}}\,;$

et c’est là, dans ce cas, la solution du problème.

Le nombre $m,$ toujours pair, est-il enfin de la forme $6k+4\,;$ la dernière colonne du tableau n’aura qu’une seule ligne qui sera

$2k+1,2k+1,2k+2,\quad$ou$\quad {\frac {m-1}{3}},{\frac {m-1}{3}},{\frac {m+2}{3}}\,;$

la série aura donc ${\frac {m-1}{3}}$ termes, dont le dernier sera l’unité ou ${\frac {2}{2}}\,;$ cette série sera donc

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-4)+(m-8)+(m-10)+(m-14)+\ldots +6+2\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :

${\frac {1}{2}}\left\{(m-2)+(m-8)+(m-14)+(m-20)+\ldots +8+2\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-4)+(m-10)+(m-16)+(m-22)+\ldots +12+6\right\},$

c’est-à-dire, en deux progressions par différences dont la raison commune est $6,$ et dont le nombre des termes est ${\frac {m+2}{6}},$ pour la première, et ${\frac {m-4}{6}},$ pour la seconde. Réunissant donc les sommes de ces deux séries, nous aurons

${\frac {1}{2}}\left\{{\frac {m}{2}}.{\frac {m+2}{6}}+{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m-4}{6}}\right\}={\frac {(m-2)(m+2)}{12}}={\frac {m^{2}-4}{12}}.$

qui sera, pour ce cas, le nombre cherché.