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DE COMBINAISON.

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots +4+2\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-7)+(m-13)+(m-19)+\ldots +8+2\right\},$

${\frac {1}{2}}\left\{(m-5)+(m-11)+(m-17)+(m-23)+\ldots +10+4\right\},$

c’est-à-dire, en deux progressions par différences dont $6$ est la raison commune et dont le nombre des termes est ${\frac {m+3}{6}},$ pour la première, et ${\frac {m-3}{6}},$ pour la seconde ; leurs sommes de termes réunies donneront donc

${\frac {1}{2}}.\left\{{\frac {m+3}{6}}.{\frac {m+1}{2}}+{\frac {m-3}{6}}.{\frac {m-1}{2}}\right\}={\frac {m^{2}+3}{12}}\,;$

et ce sera là le nombre des solutions du problème.

Si enfin $m,$ toujours impair, est de la forme $6k+5,$ le dernier tableau aura deux lignes qui seront

$\left.{\begin{array}{lll}2k+1,&2k+1,&2k+3,\\2k+1,&2k+2,&2k+2,\end{array}}\right\}\quad {\text{ou}}\quad \left\{{\begin{array}{lll}{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+4}{3}},\\{\frac {m-2}{3}},&{\frac {m+1}{3}},&{\frac {m+1}{3}}\,;\end{array}}\right.$

le nombre des termes de la série sera donc ${\frac {m-2}{3}},$ et son dernier terme sera $2$ ou ${\frac {4}{2}}$ ; cette série sera donc

${\frac {1}{2}}\left\{(m-1)+(m-5)+(m-7)+(m-11)+(m-13)+\ldots +6+4\right\},$

laquelle se décompose en ces deux-ci :