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QUESTIONS.

$p=mg,\qquad q=mh\,;\quad$d’où$\quad r=k,$

ou bien

$p=g,\qquad q=h\,;\quad$d’où$\quad r=m^{2}k\,;$

on trouve également

$x=m^{2}gk(g+h),\qquad y=m^{2}hk(g+h)\,;$

c’est à-dire que, toutes les fois que l’on prendra pour $p$ et $q$ des facteurs de $N$ non premiers entre eux, on n’obtiendra pas pour $x$ et $y$ des valeurs différentes de celles qu’on aurait eu si l’on eût substitué à ces deux nombres les quotiens de leur division par leur plus grand commun diviseur.

Ainsi, demander combien il peut y avoir de différens systèmes de valeurs entières et positives de $x$ et $y$ qui rendent la fonction ${\frac {xy}{x+y}}$ égale à un nombre entier positif donné $N=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots o^{\omega },$ c’est demander, en d’autres termes, de combien de manières on peut extraire du nombre $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots o^{\omega }$ deux facteurs entiers et positifs premiers entre eux ; et c’est aussi à cela que le problème a également été réduit par les trois géomètres qui l’ont traité. M. Sarrus ne nous a donné la sienne que verbalement, il y a déjà assez long-temps ; MM. Fauquier et Ollive nous ont transmis les leurs presque consécutivement. La marche du raisonnement est à peu près le même dans toutes ; et si nous adoptons ici de préférence la manière de le présenter de MM. Sarrus et Ollive, c’est uniquement parce qu’elle nous paraît un peu plus rapide.

Mais, avant d’entrer en matière, il est d’abord nécessaire d’établir ici une distinction. Lorsqu’on demande simplement de