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RÉSOLUES.

Solution du problème d’analise indéterminée proposé
à la page 388 du X.^e volume de ce recueil ;

Par MM. Frédéric Sarrus, Auguste Ollive et Fauquier,
capitaine au corps royal du génie, ancien élève de
l’école polytechnique.

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PROBLÈME. Par combien de systèmes de valeurs entières et positives de $x$ et $y$ peut-on rendre la fonction ${\frac {xy}{x+y}}$ égale à un nombre entier positif $N=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,$ dans lequel $a,b,c,d,\ldots$ sont des nombres premiers inégaux différens de l’unité ?

Solution. On a vu (tom. X, pag. 385) qu’en prenant

$x=pr(p+q),\qquad y=qr(p+q),$

on avait

${\frac {xy}{x+y}}=pqr\,;$

de sorte que si l’on ne voulait qu’une solution, tout se réduirait à décomposer le nombre $N$ en trois facteurs ; ce qui est, toujours possible ; sauf à prendre, s’il est nécessaire, un ou deux de ces facteurs, ou même tous les trois, égaux à l’unité.

Soit $N=m^{2}ghk\,;\ g$ et $h$ pouvant indifféremment être ou n’être pas divisibles par $m\,;$ soit qu’on pose