sera de même encore de chacune des trois circonférences qui passant par les points milieux de deux côtés opposés ou des deux diagonales de ce quadrilatère, renfermerait aussi le point où le coupent les deux parallèles menées par chacun d’eux (Théorème III) au côté ou à la diagonale qui renferme l’autre.
Le point où se coupent les huit circonférences dont il vient d’être question est nécessairement unique ; car, s’il était possible qu’il y en eût un second, toutes les circonférences devraient y passer à la fois, comme par le premier ; or, toutes ces circonférences, excepté celle qui renferme les points et pourvu qu’on ne combine pas entre elles celles qui passent par les milieux des deux côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère, sont évidemment telles que, prises deux à deux, elles ont pour intersection commune l’un des points milieux de ces côtés et de ces diagonales ; donc il faudrait que tous ces points milieux fussent confondus en un seul, ce qui est absurde ; donc enfin le centre de l’hyperbole équilatère qui passe par quatre points donnés sur un plan est unique.
Si l’on fait attention à la manière particulière dont se trouve déterminé le point dont il s’agit, relativement aux côtés et diagonales du quadrilatère il sera permis d’en déduire la conséquence générale qui suit :
THÉORÈME VIII. Quatre points étant pris à volonté sur un plan, il existe un autre point, et un seul point, tel qu’en le joignant par des droites avec les milieux des six distances qui séparent les quatre premiers deux à deux, l’angle formé par deux quelconques de ces droites est égal à celui des deux distances qui leur correspondent, ou en est le supplément. Ce point unique est, en outre, le centre de l’hyperbole équilatère passant par les quatre points dont il s’agit.
Ce théorème souffre pourtant une exception qu’il est nécessaire de signaler : c’est lorsque l’un (fig. 7) des quatre points que l’on considère est le croisement des hauteurs du triangle
