formé par les trois autres ; car alors (Théorème I), il y a une infinité d’hyperboles équilatères passant par les quatre points et par conséquent la position du centre de la courbe ne saurait être unique ; elle est nécessairement indéterminée. Or, il résulte de là que les huit circonférences de cercles dont il vient d’être question, et qui renferment simultanément le centre, doivent se confondre en un seul et même cercle ; ce qui donne lieu à la proposition suivante qui offre un nouveau principe à la géométrie élémentaire :
THÉORÈME IX. Le cercle qui passe par les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle quelconque sur les côtés qui leur sont opposés, passe aussi par les milieux de ces trois côtés, ainsi que par les milieux des distances qui séparent les sommets du point de croisement des perpendiculaires.
Démonstration. Soient les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur les côtés opposés et soient les points milieux de ces côtés.
Les triangles rectangles et étant semblables, on aura
d’où, à cause que et sont les points milieux de et
c’est-à-dire que les quatre points appartiennent à une même circonférence.
On prouverait semblablement que les quatre points sont sur un cercle, aussi bien que les quatre points
Cela posé, s’il était possible que les trois cercles en question ne fussent pas un seul et même cercle, il faudrait que les directions des cordes qui leur sont deux à deux communes concourussent en un point unique ; or, ces cordes sont précisément les côtés du triangle lesquels ne sauraient concourir en un même point ; donc il est également impossible de supposer que les trois cercles différent entre eux ; donc ils se confondent en un seul et même cercle.
