Soient maintenant les points milieux des distances qui séparent le point de croisement des hauteurs du triangle de chacun de ses sommets respectifs. Les triangles rectangles et étant semblables, on aura
d’où, à cause que les points et sont les milieux des distances et
c’est-à dire que le cercle qui passe par passe aussi par
On prouverait de la même manière que ce cercle passe par les deux autres points donc il passe à la fois par les neuf points ce qu’il fallait démontrer.
Les théorèmes qui précèdent subsistent, en tout ou en partie, et avec des modifications convenables, dans les diverses circonstances particulières que peut présenter le système des trois ou quatre points que l’on considère, et qu’on suppose appartenir à une hyperbole équilatère.
Par exemple, si l’un des sommets du triangle s’éloigne à l’infini des deux autres, et que, par conséquent, les côtés deviennent parallèles, comme l’exprime la figure 8 ; le pied de la perpendiculaire s’écartera à l’infini sur et il en sera de même des milieux des côtés du triangle et des points par conséquent, une portion toute entière du cercle qui passe par ces points sera elle-même passée à l’infini, c’est-à-dire qu’elle se sera confondue avec la droite qui contient tous les points à l’infini du plan de la figure.
Il suit de là que l’autre partie de ce cercle sera, de son côté, devenue une ligne droite ; et c’est ce qui a lieu en effet ; car, si des sommets on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés du triangle, leurs pieds respectifs seront en ligne
