Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/236

226

QUESTIONS

${\begin{aligned}\mathrm {A} a&=\mathrm {A} d,\\\mathrm {B} a&=\mathrm {B} b,\\\mathrm {C} c&=\mathrm {C} b,\\\mathrm {D} c&=\mathrm {D} d,\\\end{aligned}}$

d’où on conclut, en ajoutant et réduisant, ${\rm {AB+CD=BC+DA,}}$ comme nous l’avions annoncé.

II.

Si, dans un quadrilatère rectiligne, la somme de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres, un cercle pourra toujours lui être inscrit.

Soit (fig. 12) ${\rm {ABCDA}}$ un quadrilatère rectiligne dans lequel on a ${\rm {AB+CD=BC+DA\,;}}$ il s’agit de prouver qu’un cercle peut toujours lui être inscrit.

Comme on peut toujours décrire un cercle qui touche trois des côtés du quadrilatère, tout se réduit à prouver que ce cercle touchera aussi son quatrième côté.

Supposons donc qu’on ait décrit un cercle qui touche respectivement les côtés ${\rm {AB,BC,CD}}$ en $a,b,c\,;$ il s’agit de prouver que ce cercle touchera aussi le quatrième côté ${\rm {DA.}}$

Si l’on nie cette proposition, il faudra admettre que, par le point ${\rm {D}}$ on peut mener au cercle une tangente différente de ${\rm {DC}}$ et ${\rm {DA,}}$ touchant ce cercle en quelque point $d,$ et coupant ${\rm {AB}}$ ou son prolongement en quelque point ${\rm {E\,;}}$ alors le quadrilatère ${\rm {EBCDE}}$ se trouvant inscrit au cercle, on devra avoir (I)

${\rm {EB+CD=BC+DE\,;}}$

mais on a par hypothèse