en outre offrir une loi facile à saisir. La méthode qu’offre la série de Taylor (jusqu’ici la seule générale que nous ayons) n’étant d’ailleurs applicable qu’à des cas très-particuliers ; comme il est naturel que les intégrales se compliquent, de plus en plus, à mesure que les équations sont plus générales ; on se trouve fondé à considérer l’intégration des équations non linéaires comme surpassant, généralement parlant, les forces de l’analise.
Soit, en effet, une fonction d’un certain nombre de variables indépendantes, donnée par l’équation différentielle
étant une fonction qui contient les coefficiens différentiels ou aux différences de l’ordre le plus élevé qui soient dans l’équation proposée, et étant une autre fonction quelconque des variables indépendantes des coefficiens différentiels ou aux différences ; on aura l’équation intégrale
signifiant la fonction inverse de et étant la fonction la plus générale qui satisfasse à l’équation
Au moyen de cette relation implicite, on trouvera facilement la valeur explicite de par des substitutions successives ; ce sera
Maintenant, il se peut que chaque substitution rapproche cette série de la véritable valeur de mais il se peut aussi qu’elle l’en éloigne ; et alors on devra donner une autre forme à la série ; ce qui est toujours possible d’autant de manières différentes qu’il y en aura de partager l’équation entre les deux termes et
