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ÉQUATIONS LINÉAIRES.

On voit cependant que la valeur de $y$ restera, en général, très compliquée, à moins que $\phi .y$ et $\operatorname {f} .y$ ne soient linéaires par rapport à $y$, ce qui embrasse déjà une classe d’équation étendue et très-importante : celle des équations linéaires.

On a, dans ce cas,

$y=X+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X\right)+{\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} \left({\frac {1}{\phi }}\operatorname {f} X\right)\right)+\ldots \,;$

et je me propose d’en exposer les principales conséquences, en commençant par la partie la plus simple, qui sert en même temps de base au reste.

§. I.

Des équations différentielles à deux variables.

Le résultat le plus général qu’on ait obtenu sur ces équations, est le théorème de Lagrange, au moyen duquel on sait ramener l’équation la plus générale à une autre qui ne renferme pas de terme indépendant de la fonction inconnue. De plus, on intègre sans difficulté, par des fonctions exponentielles ou algébriques les équations de la forme

${\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+a{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+b{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +g{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+hy=0,$

${\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+{\frac {a}{x}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+{\frac {b}{x^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +{\frac {g}{x^{n-1}}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {h}{x^{n}}}=0\,;$

et par des intégrales définies celles de la forme

$(a_{0}+b_{0}x){\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}+(a_{1}+b_{1}x){\frac {\operatorname {d} ^{n-1}y}{\operatorname {d} x^{n-1}}}+(a_{2}+b_{2}x){\frac {\operatorname {d} ^{n-2}y}{\operatorname {d} x^{n-2}}}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)=0\,;$

mais les méthodes qu’a donné Euler pour intégrer les équations,