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ÉQUATIONS

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+P{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+Qy=0,\qquad$(1)

c’est-à-dire l’équation proposée. En faisant, au contraire

${\frac {\operatorname {d} X_{2}}{X_{2}\operatorname {d} x}}=z,$

on aurait

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}-Pz+z^{2}={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-Q\,;$

d’où, en posant,

$z={\frac {\operatorname {d} y}{y\operatorname {d} x}},$

on conclurait

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}-P{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\left(Q-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\right)y=0.\qquad$(2)

Ainsi l’on fait dépendre l’équation (1) de (2) ; mais ce résultat n’est que très-particulier, et ne donne pas lieu à d’autres tranformations, attendu que le même procédé, appliqué à (2), reconduit à (1).

On pourrait encore former des équations par les quantités données $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,$ comme on forme des équations algébriques au moyen de leurs racines ; mais ces recherches ne conduisent qu’à des cas particuliers et peu utiles. Cependant, il nous sera facile de découvrir les cas les plus généraux ou la détermination des quantités $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,$ dépend seulement d’opérations algébriques. Il nous suffit pour cela de considérer l’équation du troisième ordre, pour laquelle on aura, en employant les notations de Lagrange, les relations suivantes :