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LINÉAIRES.

tion proposée. Ces opérations ont quelque analogie avec celles que l’on fait, avec tout aussi peu de succès, sur les équations algébriques des degrés supérieurs, à une seule inconnue, dans le dessein de les résoudre. Cependant on est parvenu, par des considérations particulières, à présenter, sous forme finie, les racines des quatre premiers degrés de celles-ci ; mais il faut observer que cela ne s’exécute qu’au moyen de transcendantes particulières pour chaque degré, auxquelles, à raison du fréquent usage qu’on en fait, on a cru devoir affecter des symboles particuliers, qui leur donnent, du moins, quant aux notations, l’apparence de fonctions finies. Ainsi, par exemple, la racine quarrée est déjà une transcendante à l’égard de la racine de l’équation du premier degré ; de sorte que l’on ne doit chercher, par aucune analogie, à présenter l’intégrale de l’équation du second ordre sous forme finie, au moyen des fonctions exponentielles qui représentent, en général, celle du premier ordre. En. effet, si l’on compare les quantités $X_{1},X_{2}$ avec $P,Q$, dans l’équation du second ordre, on aura

$P={\frac {\operatorname {d} X_{2}}{X_{2}\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x}},\qquad Q={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} X_{2}}{X_{2}\operatorname {d} x}}\,;$

en posant donc

${\frac {\operatorname {d} X_{1}}{X_{1}\operatorname {d} x}}=z,$

ce qui donne

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+zP-z^{2}=Q,$

si l’on fait ensuite

$z=-{\frac {\operatorname {d} y}{y\operatorname {d} x}},$

il viendra