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LINÉAIRES.

${\frac {1}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(X_{1}y\right)=Q\,;$

en comparant ; on aura

${\frac {\operatorname {d} X_{1}}{\operatorname {d} x}}=PX_{1},$

dont l’intégrale est

$X_{1}=a+\int PX_{1}\operatorname {d} x,$

c’est-à-dire,

$X_{1}=a\left(1+\int P\operatorname {d} x+\int P\int P\operatorname {d} x^{2}+\int P\int P\int P\operatorname {d} x^{3}+\ldots \right),$

$a$ étant une constante arbitraire ; et, après avoir trouvé $X_{1},$ on aura

$y={\frac {c}{X_{1}}}+{\frac {1}{X_{1}}}\int X_{1}Q\operatorname {d} x\,;$

$c$ étant une nouvelle constante, mais l’intégrale n’en contient pourtant qu’une, attendu que $a$ disparaît dans le second terme.

Telle est donc l’intégrale complète la plus simple de l’équation du premier ordre, et l’on voit qu’elle se présente nécessairement sous la forme d’une série infinie, à moins que l’on n’adopte quelque nouveau symbole pour représenter la valeur de $X_{1}.$ On trouve, en effet,

$X_{1}=a\left\{1+{\frac {\int P\operatorname {d} x}{1}}+{\frac {\left(\int P\operatorname {d} x\right)^{2}}{1.2}}+{\frac {\left(\int P\operatorname {d} x\right)^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right\}\,;$

ce qui revient à

$ae^{\int P\operatorname {d} x},$

suivant le signe qu’on a adopté pour la fonction exponentielle, qui est la transcendante la plus simple qui, en général, puisse