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LINÉAIRES.

$\Delta ^{n}y+P\Delta ^{n-1}y+Q\Delta ^{n-2}y+\ldots +My=N\,;$

on en aurait l’intégrale complète, si l’on pouvait trouver $n$ quantités $X',X'',X'''\ldots X^{(n)},$ qui satisfissent à l’équation

$\Delta \left(X^{(n)}\Delta \left(X^{n-1}\Delta (\ldots \Delta (X'y)\right)\right)=X_{1}^{(n)}X_{2}^{n-1}\ldots X''_{n-1}X'_{n}N\,;$

$X_{m}$ étant $=(1+\Delta )^{m}X_{0}$ suivant les notations adoptées. Mais on s’assurera facilement que la comparaison entre les coefficiens respectifs de $\Delta ^{m-1}y,\Delta ^{m-2}y,\ldots$ conduiraient, en général, à des équations très compliquées, et par conséquent, qu’il faut laisser un ou plusieurs coefficiens indéterminés suivant le même procédé que nous avons employé plus haut.

L’équation du premier ordre s’intègre, en général, sans difficulté. Soit, en effet,

$\Delta y+P_{x}y=Q_{x}\,;$

en faisant

$\Delta (X'y)=X'_{1}Q_{x},$

on aura, pour déterminer $X',$ l’équation

$\Delta X'=(\Delta X'+X')P_{x},\qquad$ ou$\qquad X'_{1}={\frac {X'}{1-P_{x}}}\,;$

d’où l’on tire, en prenant les logarithmes et intégrant,

$X'=e^{-\Sigma \operatorname {Log} .\left(1-P_{x}\right)},$

ce qui revient à

$X'=\left[1-P_{x-1}\right]^{x-1},$

suivant la notation de Vandermonde.

Maintenant, on trouve aisément