Après avoir développé les principales conséquences des principes généraux, relativement aux équations à deux variables, il me reste maintenant à traiter des équations aux différences partielles.
Parmi le petit nombre des résultats généraux auxquels on est parvenu, relativement à l’intégration des équations linéaires, il faut principalement remarquer celui qui ramène l’intégration d’une équation quelconque à ne dépendre que de celle d’une équation qui ne contient pas de terme indépendant de la fonction inconnue. Cependant, on ne sait que rarement intégrer immédiatement, sous forme finie, une équation à plusieurs variables, pas même dans les cas analogues à ceux où l’on intègre les équations à deux variables, par des fonctions connues, comme, par exemple, lorsque les coefficiens sont constans. L’introduction de nouvelles variables conduit quelquefois à des résultats satisfaisans, qui sont pourtant très-particuliers, et exigent le plus souvent que l’intégrale soit donnée en série infinie, seule forme à laquelle toute intégrale soit réductible. On sait que la série de Taylor donne le moyen d’intégrer les équations, soit à deux, soit à plusieurs variables ; mais nous avons vu qu’en général elle est inapplicable à celles-là, et à plus forte raison à celles-ci. C’est pourquoi on a formé des séries qui procèdent suivant des différentielles ascendantes, forme beaucoup plus avantageuse et toujours possible, à l’exception de quelques cas particuliers, analogues à ceux où la série de Taylor se trouve en défaut ; mais, quelque élégans que soient les résultats obtenus par cette méthode, on peut se demander si elle conduit toujours aux formes les plus simples des intégrales, qui se développent, comme on sait, d’une infinité de manières différentes. Il est donc important d’avoir une méthode générale et directe pour cet objet ; et c’est une telle mé-
