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ÉQUATIONS
par laquelle on ne saurait satisfaire à trois conditions. En effet
en comparant, on trouve
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} N_{x+1}}{N_{x+1}\operatorname {d} x}}=P_{1},\qquad {\frac {\Delta \left(M_{x}N_{x}\right)}{M_{x+1}N_{x+1}}}=Q_{x}{\frac {\Delta \left(M_{x}{\frac {\operatorname {d} N_{x}}{\operatorname {d} x}}\right)}{M_{x+1}N_{x+1}}}=R_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1e0206da78f2c99ce9bb7520b051d7b829789c)
On tire des deux premières
![{\displaystyle N_{x+1}=e^{\int P\operatorname {d} x},\qquad M_{x}N_{x}={\frac {1}{\left[1-Q_{x-1}\right]^{x-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aab72ff7bdeb46b54ed7cc621838723568014ce)
et, pour satisfaire à la dernière relation, il faut mettre l’équation sous la forme
![{\displaystyle \Delta \left\{M_{x}{\frac {\operatorname {d} \left(N_{x}y\right)}{\operatorname {d} x}}\right\}=M_{x+1}N_{x+1}\left\{P_{x}+\left(Q_{x}-1\right)P_{x-1}-R_{x}\right\}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb8dff8d84366bfd0b1e7f461aa346b80eb8047)
d’où on tire, en représentant par
le coefficient de
dans le second membre,
![{\displaystyle y={\frac {c}{N_{x}}}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\alpha \operatorname {d} x}{M_{x}}}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\operatorname {d} x}{M_{x}}}\Sigma M_{x+1}N_{x+1}S_{x}+{\frac {1}{N_{x}}}\int {\frac {\operatorname {d} x}{M_{x}}}\Sigma T_{x}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3871207244b6cfbfa69f43289bd610f11b8c1b0)
étant une constante, et
une fonction telle que
Si ensuite on représente par
la partie indépendante de
on aura, en sous-entendant les indices,
![{\displaystyle y=Z+{\frac {1}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma TZ\operatorname {d} x+{\frac {1}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma {\frac {T}{N}}\int {\frac {1}{M}}\Sigma TZ\operatorname {d} x^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bdf10341e27819d92803cab9b3ddad7fdaf579)
On trouve facilement une seconde forme générale, en mettant l’équation proposée sous la forme d’une différentielle complète ; mais, dans tous les cas, la succession alternative des signes
et
soumet ces formules générales à des difficultés qui font ressortir les avantages des travaux de MM. Biot et Poisson sur le même sujet.