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ÉQUATIONS

$\operatorname {f} A_{m+1}=A_{1},\quad \operatorname {f} A_{m+2}=A_{2},\quad \operatorname {f} A_{m+3}=A_{3},\ldots$

les relations entre $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ étant des équations ordinaires de l’ordre $m,$ pour lesquelles il s’agit seulement d’avoir une intégrale particulière ; désignant donc par ${\frac {1}{\operatorname {f} }}$ la fonction inverse de $\operatorname {f} ,$ on aura ainsi

$A_{m+1}={\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1},$

et l’intégrale complète

${\begin{aligned}z&=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\ldots +A_{m}B_{m}\\&+\phi B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1}+\phi B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{2}+\ldots +\phi B_{m}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{m}\\&+\phi ^{2}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{1}+\phi ^{2}B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{2}+\ldots \\&+\phi ^{3}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{3}}}A_{1}+\ldots \\&+\ldots \ldots \end{aligned}}$

$\phi ^{2}$ et ${\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}$ étant la même chose que $\phi \phi$ et ${\frac {1}{\operatorname {f} }}{\frac {1}{\operatorname {f} }},$ et ainsi des autres.

Par le théorème de Parseval, on peut encore ramener chacune des séries

${\begin{aligned}&A_{1}B_{1}+\phi B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1}+\phi ^{2}B_{1}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{1}+\ldots ,\\&A_{2}B_{2}+\phi B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{2}+\phi ^{2}B_{2}.{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{2}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

à ne dépendre que de celles-ci :