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LINÉAIRES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}+{\frac {1}{\operatorname {f} }}A_{1}+{\frac {1}{\operatorname {f} ^{2}}}A_{1}+\ldots ,\\&B_{1}+\phi B_{1}+\phi ^{2}B_{1}+\ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3593838018d8fd67baf4545fac3d284ab39107f5)
dont la dernière conduit à une équation à
variables indépendantes, la proposée en renfermant
mais les imaginaires que cette méthode introduit la rendent peu susceptible d’application.
On peut encoie satisfaire à la forme
![{\displaystyle A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e4c846381390a6e254979871eb46d88ac74d9)
de beaucoup d’autres manières ; ainsi, si l’on ne veut pas de fonctions arbitraires, la manière la plus simple de satisfaire à l’équation
![{\displaystyle B_{1}\operatorname {f} A_{1}+B_{2}\operatorname {f} A_{2}+\ldots =A_{1}\phi B_{1}+A_{2}\phi B_{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4305affb9e462443ceaf4cd7bfbbabc779d8cbf6)
sera de faire
![{\displaystyle B_{1}\operatorname {f} A_{1}=A_{1}\phi B_{1},\qquad B_{2}\operatorname {f} A_{2}=A_{2}\phi B_{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41ff731b17eee2419282e03f4450852810de57e)
or, ces équations étant toutes semblables, il suffira de considérer celle-ci :
![{\displaystyle B_{r}\operatorname {f} A_{r}=A_{r}\phi B_{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df51c5e247f358afaee53dafea8ac752afa0d998)
à laquelle on satisfera de la manière la plus générale, en posant
![{\displaystyle B_{r}=c_{r}\phi B_{r},\qquad \operatorname {f} A_{r}={\frac {1}{c_{r}}}A_{r},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2813147b2714c97b72955a1878177697e8bf4d)
étant une constante arbitraire ; et l’on trouvera, en intégrant ces équations,
![{\displaystyle B_{r}=\Gamma (c_{r}),\qquad A_{r}=\Pi (c_{r}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9214e804033065d7605b318d0f9a1f6c013f99d7)