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ÉQUATIONS

Soient donc $c_{1},c_{2},\ldots$ des constantes arbitraires, et $C_{1},C_{2},\ldots$ des fonctions quelconques de celles-ci ; on peut faire

$z=C_{1}\Gamma (c_{1}).\Pi (c_{1})+C_{2}\Gamma (c_{2}).\Pi (c_{1})+\ldots \,;$

ou, si l’on veut,

$z=SC\Gamma (c).\Pi (c)\quad$ou$\quad \int \Gamma (c).\Pi (c)\phi (c)\operatorname {d} c,$

$\phi (c)$ étant une fonction arbitraire de $c.$

Il est sans doute superflu de faire voir la variété infinie qu’on pourrait donner aux intégrales de l’équation proposée, en laissant indéterminées deux ou un plus grand nombre de quantités $A_{1},B_{1},\ldots ,$ et en comparant de différentes manières les autres termes de la série.

Il faut encore observer qu’il n’est pas nécessaire que les fonctions $\operatorname {f} z$ et $\phi z$ contiennent seulement des différentielles pour que les méthodes précédentes soient applicables ; elles le sont encore, lorsque ces fonctions contiennent des différentielles négatives, c’est-à-dire, des intégrales ; mais ce cas donne lieu à des observations qui ne s’exposent pas d’une manière assez claire lorsqu’on demeure dans les généralités, ainsi que je le fais ici ; et, comme elles je présentent d’ailleurs d’elles-mêmes assez facilement, je n’en parlerai qu’en traitant, en particulier, des équations à trois variables ; et alors je ferai voir l’usage des facteurs pour ramener une équation à cette forme, lorsque cela est possible. Je parlerai aussi, plus bas, du cas où les coefficiens sont des fonctions quelconques de la somme des variables indépendantes. Je ne ferai ici qu’une seule observation sur l’équation à coefficiens constans. Elle consiste en ce que si l’on pose l’équation

$\operatorname {f} z=M,$

$\operatorname {f} z$ étant une fonction linéaire quelconque de $z$, à coefficiens cons-