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ÉQUATIONS

$u={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+P_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+Q_{1}z.$

Pour cela, on trouvera les conditions

$\alpha =P+P_{1},\quad \beta =PP_{1},\quad \gamma ={\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} x}}+P{\frac {\operatorname {d} P_{1}}{\operatorname {d} y}}+PQ_{1}+P_{1}Q,$

$\alpha =Q+Q_{1},\quad \varepsilon ={\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} x}}+P{\frac {\operatorname {d} Q_{1}}{\operatorname {d} y}}+QQ_{1}.$

Or, comme, en général, il est impossible de satisfaire à toutes ces conditions, il est nécessaire de mettre l’équation sous une autre forme

Faisons, par exemple,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+\beta {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}+\gamma {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+\delta {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\varepsilon z=\theta +\eta z\,;$

on pourra toujours déterminer $\eta$ de manière que toutes ces conditions soient remplies. Après avoir intégré les deux équations du premier ordre, on aura un résultat

$z=U+\operatorname {f} z,$

$U$ renfermant deux fonctions arbitraires, et $\operatorname {f} z$ étant une fonction lineaire qui contient des signes d’intégration par rapport à $x$ et $y$ ; on aura, en conséquence,

$z=U+\operatorname {f} U+\operatorname {f} ^{2}U+\operatorname {f} ^{3}U+\ldots$

mais on tombe souvent sur des difficultés insurmontables, sur tout lorsque l’intégration des équations du premier ordre conduit à des équations non linéaires ; c’est pourquoi je considère encore l’équa-