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LINÉAIRES.

$z=U-{\frac {1}{m}}\int {\frac {mn}{q}}\left({\frac {1}{n}}U'\right)'\operatorname {d} y$

$+{\frac {1}{m}}\int {\frac {mn}{q}}\left({\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m}}\int {\frac {mn}{q}}\left({\frac {1}{n}}U'\right)'\right)'\right)'\operatorname {d} y^{2}-\ldots$

les dérivations se rapportant à $x.$ Cette forme, quoiqu’elle contienne seulement une fonction arbitraire n’en est pas moins générale, corme l’on sait ; et il était facile de trouver une autre forme qui en contint deux. Pour cela, il fallait commencer l’intégration par rapport à $x.$

Maintenant, après avoir présenté des formes générales, pour l’intégration des équations à trois variables, il peut être intéressant de discuter les cas les plus étendus qui soient susceptibles de simplification. Les méthodes dont on se sert pour cet effet consistent à introduire de nouvelles variables, par rapport auxquelles on obtient des intégrales, définies au indéfinies ; et les plus générales sont celle de Parceval et celle qui conduit à l’intégrale complète par une somme indéfinie d’intégrales particulières. Cependant, ces méthodes en laissent toujours à désirer d’autres, dans le cas où il est possible d’en avoir ; aussi connaît-on, pour certains cas particuliers, plusieurs autres méthodes fort élégantes.

Prenons l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+q{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+rz=0,$

$p,q,r$ étant des fonctions quelconques de $x+y$ ; alors on trouvera facilement, pour la forme (1), et en observant qu’en général

$\int Me^{ty}\operatorname {d} y=e^{-tx}\int Me^{t(x+y)}\operatorname {d} y,$

qu’une valeur $z=ue^{tx}$ satisfait à l’équation proposée, de même que