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ÉQUATIONS
![{\displaystyle z=T+{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mn\nu T\operatorname {d} y\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6936a78aa36d79ed807e59a72ad430e945a6572)
![{\displaystyle +{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}\sideset {^{x}}{}\int m\nu \sideset {^{y}}{}\int {\frac {1}{m}}{}\sideset {^{x}}{}\int mn\nu T\operatorname {d} y^{2}\operatorname {d} x^{2}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5e19f1e7be48e8a95609bf77ff3025ff28131e)
(1)
Il est facile de trouver, pour cette intégrale, une infinité d’autres
formes plus ou moins simples ; mais je n’en présenterai qu’une
seule, qui est quelquefois préférable à celle-ci.
En faisant
![{\displaystyle m=e^{-\int p\operatorname {d} y},\quad n=e^{\int {\frac {r}{q}}\operatorname {d} y},\quad U=\psi +\int m\phi \operatorname {d} x+\sideset {^{x}}{}\int m\sideset {^{y}}{}\int {\frac {s}{m}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c95b8b6f895dfaa5b2d0fdf649be364277f0e5c)
et
étant des fonctions arbitraires de
et de
respectivement, on aura
![{\displaystyle {\frac {m\operatorname {d} \left({\frac {1}{m}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)}{\operatorname {d} y}}=s-{\frac {q}{n}}{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c6584c67eda63cc034eea6a52c3080a3d2f483)
d’où
![{\displaystyle z=U-\sideset {^{x}}{}\int m\sideset {^{y}}{}\int {\frac {q}{mn}}{\frac {\operatorname {d} (nU)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e4df539ace4243bd146e58a7ea0c36be116fe7)
(2)
La forme la plus simple qui intègre l’équation (B) s’obtient de la
manière suivante : faisant
![{\displaystyle n=e^{-\int p\operatorname {d} x},\quad m=e^{\int {\frac {r}{p}}\operatorname {d} y},\quad U={\frac {\phi }{m}}+{\frac {1}{m}}\int sm\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94a131d940dba1393b62048137d2f6d304a554a)
étant fonction arbitraire de
on aura,
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}{\frac {\operatorname {d} mz}{\operatorname {d} y}}=s-n{\frac {\operatorname {d} .{\frac {1}{n}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dd94031dc35726db00e38cf1342371c83ab767)
d’où