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ÉQUATIONS

$z=T+{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}^{x}\!\int mn\nu T\operatorname {d} y\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{n}}^{y}\!\int {\frac {1}{m}}\sideset {^{x}}{}\int m\nu \sideset {^{y}}{}\int {\frac {1}{m}}{}\sideset {^{x}}{}\int mn\nu T\operatorname {d} y^{2}\operatorname {d} x^{2}+\ldots \qquad$(1)

Il est facile de trouver, pour cette intégrale, une infinité d’autres formes plus ou moins simples ; mais je n’en présenterai qu’une seule, qui est quelquefois préférable à celle-ci.

En faisant

$m=e^{-\int p\operatorname {d} y},\quad n=e^{\int {\frac {r}{q}}\operatorname {d} y},\quad U=\psi +\int m\phi \operatorname {d} x+\sideset {^{x}}{}\int m\sideset {^{y}}{}\int {\frac {s}{m}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y$

$\psi$ et $\phi$ étant des fonctions arbitraires de $y$ et de $x,$ respectivement, on aura

${\frac {m\operatorname {d} \left({\frac {1}{m}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)}{\operatorname {d} y}}=s-{\frac {q}{n}}{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}},$

d’où

$z=U-\sideset {^{x}}{}\int m\sideset {^{y}}{}\int {\frac {q}{mn}}{\frac {\operatorname {d} (nU)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y+\ldots \qquad$(2)

La forme la plus simple qui intègre l’équation (B) s’obtient de la manière suivante : faisant

$n=e^{-\int p\operatorname {d} x},\quad m=e^{\int {\frac {r}{p}}\operatorname {d} y},\quad U={\frac {\phi }{m}}+{\frac {1}{m}}\int sm\operatorname {d} y,$

$\phi$ étant fonction arbitraire de $x$ on aura,

${\frac {1}{m}}{\frac {\operatorname {d} mz}{\operatorname {d} y}}=s-n{\frac {\operatorname {d} .{\frac {1}{n}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}}{\operatorname {d} x}},$

d’où