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LINÉAIRES.

$\nu ,\omega ,\varpi$ étant des fonctions quelconques de $y,$ et $\xi$ une fonction quelconque de $x.$ Quoiqu’elle n’ait pas la forme $\operatorname {f} z=\phi z,$ que nous avons traitée plus haut, il est facile de la lui donner par des facteurs. En effet, on a, par la formule (2),

${\frac {\operatorname {d} z}{\xi \operatorname {d} x}}=m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} (nz)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y,$

$m$ et $n$ étant des fonctions de $\gamma \,;$ et, par l’introduction des fonctions arbitraires et par les substitutions successives, on en trouve facilement l’intégrale complète

$z=\psi +\int \xi \operatorname {d} x.m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} (ny)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y$

$+\int \xi \int \xi \operatorname {d} x^{2}.m\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}\left(mu\int {\frac {\omega }{mn}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}(n\psi )\operatorname {d} y^{2}\right)$

$+m\int \phi \operatorname {d} x+\int \xi \int \phi \operatorname {d} x^{2}.m\int {\frac {\omega }{mn}}\operatorname {d} (mn)+\ldots$

séries qui se ramènent à la forme finie, par le théorème de Parseval et l’intégration des deux équations du premier ordre à deux variables.

On peut encore intégrer l’équation proposée par une infinité d’intégrales particulières, comme nous l’avons dit plus haut. En effet, si l’on fait

$z=XY,\quad$on aura$\quad Y{\frac {\operatorname {d} X}{\xi \operatorname {d} x}}=Xm\int {\frac {\omega }{mn}}.\operatorname {d} (nY)$

d’où

$cX\operatorname {d} x={\frac {\operatorname {d} X}{\xi }},\qquad cd\left({\frac {\operatorname {d} Y}{m}}\right)={\frac {\omega }{mn}}\operatorname {d} (nY)\,;$

de là on conclura facilement, en substituant les valeurs de $m$ et $n,$

$X=e^{c\int \xi \operatorname {d} x},\quad Y=e^{\int {\frac {c\nu +\varpi }{c-\omega }}\operatorname {d} y},\quad z=\int e^{c\int \xi \operatorname {d} x+\int {\frac {c\nu +\varpi }{c-\omega }}\operatorname {d} y}\phi (c)\operatorname {d} c.$